在世界的历史长河中，就古建筑而言，最具有视觉美感的，毫无疑问是源远流长、绵延不绝的中国古建筑。
建筑的美学可以体现在方方面面，比如造型、规模、材料、色彩、构造、细部雕琢等，在这些美学的原动力中，完全来源于人类智力活动的，唯有蕴含其中的数学密码：形状、比例、尺寸等。

屋顶造型与最速降线

要全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，单从画作去了解是不够的，需要结合工程营造的历史资料和现存的古建筑实物进行更深入的剖析。
我们主要选取现存宋代建筑代表作——晋祠圣母殿、宋代李诫（一说为李诚）所著的《营造法式》等古建资料作为研究对象。
作为整个建筑冠冕的屋面，建筑造型艺术发挥得淋漓尽致。
我们的研究着重分析两个数据：屋面的圆心角A（° ）、坡屋面高度半径H/半坡宽度W。

以上是晋祠圣母殿和《营造法式》中四个典型的屋面剖面图。
从图中可以看到，五个屋面的圆心角分别为：29°、29°、30°、31°、34°，平均值为30.6°；H/W分别为：0.533、0.579、0.587、0.583、0.607，平均值为：0.578。
我对其它更多宫殿、厅堂的实物和资料进行了统计，基本数据类似。
因此可以得到古建筑中屋顶的第一个数学密码：从檐口到屋脊，以圆弧拟合屋面曲线，得到圆心角基本在在30°±2°；第二个数学密码：从檐口到屋脊，坡屋面高度半径H/半坡宽度W=0.57±0.3。
这些数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑：包括庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶建筑，均宜参照这两个密码营造。

从对屋顶曲线进行数学拟合时，却发现圆弧的拟合度并非最佳。
那么什么曲线的拟合度最好？经过对多个屋面曲线的模拟尝试，可以看出绿色的曲线是最佳的。
这条曲线是摆线或旋轮线，也叫最速降线，就是在起点与终点确定并且忽略阻力的情形下，物体下滑所需时间最短的曲线。
屋面除了审美需求，为了防止积水和渗漏，根本用途是期望能以最快的速度排水。
最速降线的理论，是在1696年才由牛顿、伯努利等欧洲的数学家们整明白的，古代的中国工匠们不可能知晓，他们模拟的是圆弧，但是在配合举架的模数确定相关尺寸时，恰好拟合成了最速降线。
同时，屋面曲线在檐口处的切线基本水平，使水流排出屋面后，以平抛的抛物线离开屋面，这不得不说又体现了工匠们的智慧。
正是这种做法，保证了屋面不积水并且能够把雨水排到最远，以便更好地保护房屋的基础（地盘）。

以拟合屋面的数学方程的方式，表达对古代营造者的敬意。
最速降线的参数方程：x=R(θ-sinθ), y=R(1-cosθ)。
平抛抛物线方程：x²=-2py(p>0, x≥0)，得到了第三个数学密码：最速降线和平抛抛物线。